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Video-Aulas

 

 

Localização dos Pontos

 

 

Equação da Reta

 

 

Distância entre dois pontos

 

 

Ponto Médio

 

Condição de Alinhamento

 

Área do Triângulo

 

Baricentro

 

 

Distância entre Ponto e Reta

 

 

Exercícios Referente a cada Sub-Tema

*Localização dos Pontos no Plano Cartesiano
 1)Localize os pontos no plano cartesiano:
A(3,2)
B(-5,-4)
C(6,3)
D(2,-1)
E(-3,5)
F(-4,-5)

*Distância entre Dois Pontos

2)Determine a distância entre o ponto B e C
B(2,3)
C(5,7)

*Condição de Alinhamento de Três Pontos

3)Determine se os pontos A(1,3),B(3,6),C(4,2)  se estão alinhados.

*Equação da Reta

4) Calcule a equação da reta com os seguintes pontos A(2,4) sendo yo=4 e xo= 2 e o ponto B(3,6).

*Distância entre Ponto e Reta

5) Calcule Dpr ponto C(1,2)o xp=1 e o yp=2,sendo assim minha formula será 3x+4y+2=0

*Baricentro

6)Determine o Baricentro com os seguintes pontos:

A(1,4)

B(3,2)

C(0,5)

*Área do Triângulo 

7) Com base no exercício do alinhamento teremos o resultado:

*Ponto Médio

8) Com base nos seguintes pontos A (1,0) e B (-5,-3), determine o ponto médio e localize no plano cartesiano:

Ponto Médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir:

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM).

A aplicação de como foi criada a fórmula para identificar o ponto médio de uma reta:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A) 
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A) 
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A 
2x_M = x_B – x_A + 2x_A 
2x_M = x_A + x_B 
x_M = (x_A + x_B)/2 

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2. 
Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano.

Exemplo 

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento. 

x_A = 4 e y_A = 6 
x_B = 8 e y_B = 10 

x_M = (xA + xB) / 2 
x_M = (4 + 8) / 2 
x_M = 12/2 
x_M = 6 

y_M = (yA + yB) / 2 
y_M = (6 + 10) / 2 
y_M = 16 / 2 
y_M = 8 

   As coordenadas do ponto médio do segmento A_B é x_M (6, 8). 

Área do Triângulo

  

Na geometria analítica tem seus elementos fundamentais que são: os pontos e suas coordenadas. Através disso podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas das figuras planas.

 A área de um triângulo  pode ser calculada,  mas para isso temos que ter suas coordenadas e seus alinhamentos para chegar a um resultado.

A área do triângulo tem a seguinte equação:

O parâmetro D é determinado pelo alinhamento do triângulo ABC.

Para conseguir achar o  parâmetro D temos que usar o calculo determinante para verificar a condição de alinhamento de três pontos.

 Caso  a área do triângulo e o alinhamento dê zero, sabemos que os três pontos estão alinhados por que sua área é zero.

 Um fato muito importante é que na fórmula da área do triângulo está em modulo então se o resultado do alinhamento der negativo, na fórmula da área o resultado tem que ser positivo pois está em modulo.

Exemplo 

   Determine a área do triângulo seus pontos são: A (4,0), B (0,0) e C (2,2)

 A área do triângulo ABC é de 4 u.a (unidades de área).

Baricentro

Ao traçarmos o baricentro nos segmentos da reta das medianas, elas se encontra no ponto G, sendo assim esse é o ponto representado com  baricentro do triângulo ABC. Ao analisar a imagem abaixo vemos o baricentro o ponto G no centro do triângulo.

Temos as seguintes coordenadas:

Para conseguirmos resolver o Baricentro precisamos de suas coordenadas, referentes ao seus três pontos no triângulo. É a seguinte fórmula para o eixo x e eixo y:

Exemplo:

Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 4), B(2, 3) e C(2, 2).

O baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(2, 3).

Distância entre Ponto e Reta

A Distância entre o ponto P e uma reta S corresponde á reta entre o ponto e sua projeção ortogonal em S.Para a Geometria Analítica uma das coisas mais importantes é a distância entre os pontos e a reta conhecida muito com DPR. Olha a figura abaixo:

A equação geral da reta s: ax₀ + by₀ + c = 0 e a coordenada do ponto C (x₀,y₀), com essas informações está a seguinte fórmula:

 Essa Fórmula pode ser utilizada para o envolvimento do cálculo da distância entre um ponto e qualquer reta.

Exemplo:

Dado o ponto C(4, 5) e r: -3x + 4y + 2 = 0. Calcule a distância entre A e B 
Temos que: 

x: 4
y: 5
a: -3 
b: 4
c: 2