Links

 http://www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.htm

http://www.mundoeducacao.com/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm

http://www.mundoeducacao.com/matematica/condicao-alinhamento-tres-pontos.htm

http://www.mundoeducacao.com/matematica/equacao-reduzida-reta.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-coeficiente-angular-uma-reta.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/distancia-entre-ponto-reta.htm

http://www.mundoeducacao.com/matematica/baricentro-triangulo.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/baricentro-um-triangulo.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/Area-uma-regiao-triangular-atraves-determinante.htm

http://www.brasilescola.com/matematica/ponto-medio-um-segmento-reta.htm

Video-Aulas

 

 

Localização dos Pontos

 

 

Equação da Reta

 

 

Distância entre dois pontos

 

 

Ponto Médio

 

Condição de Alinhamento

 

Área do Triângulo

 

Baricentro

 

 

Distância entre Ponto e Reta

 

 

Exercícios Referente a cada Sub-Tema

*Localização dos Pontos no Plano Cartesiano
 1)Localize os pontos no plano cartesiano:
A(3,2)
B(-5,-4)
C(6,3)
D(2,-1)
E(-3,5)
F(-4,-5)

*Distância entre Dois Pontos

2)Determine a distância entre o ponto B e C
B(2,3)
C(5,7)

*Condição de Alinhamento de Três Pontos

3)Determine se os pontos A(1,3),B(3,6),C(4,2)  se estão alinhados.

*Equação da Reta

4) Calcule a equação da reta com os seguintes pontos A(2,4) sendo yo=4 e xo= 2 e o ponto B(3,6).

*Distância entre Ponto e Reta

5) Calcule Dpr ponto C(1,2)o xp=1 e o yp=2,sendo assim minha formula será 3x+4y+2=0

*Baricentro

6)Determine o Baricentro com os seguintes pontos:

A(1,4)

B(3,2)

C(0,5)

*Área do Triângulo 

7) Com base no exercício do alinhamento teremos o resultado:

*Ponto Médio

8) Com base nos seguintes pontos A (1,0) e B (-5,-3), determine o ponto médio e localize no plano cartesiano:

Ponto Médio

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir:

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM).

A aplicação de como foi criada a fórmula para identificar o ponto médio de uma reta:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A) 
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A) 
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A 
2x_M = x_B – x_A + 2x_A 
2x_M = x_A + x_B 
x_M = (x_A + x_B)/2 

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2. 
Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano.

Exemplo 

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento. 

x_A = 4 e y_A = 6 
x_B = 8 e y_B = 10 

x_M = (xA + xB) / 2 
x_M = (4 + 8) / 2 
x_M = 12/2 
x_M = 6 

y_M = (yA + yB) / 2 
y_M = (6 + 10) / 2 
y_M = 16 / 2 
y_M = 8 

   As coordenadas do ponto médio do segmento A_B é x_M (6, 8). 

Área do Triângulo

  

Na geometria analítica tem seus elementos fundamentais que são: os pontos e suas coordenadas. Através disso podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas das figuras planas.

 A área de um triângulo  pode ser calculada,  mas para isso temos que ter suas coordenadas e seus alinhamentos para chegar a um resultado.

A área do triângulo tem a seguinte equação:

O parâmetro D é determinado pelo alinhamento do triângulo ABC.

Para conseguir achar o  parâmetro D temos que usar o calculo determinante para verificar a condição de alinhamento de três pontos.

 Caso  a área do triângulo e o alinhamento dê zero, sabemos que os três pontos estão alinhados por que sua área é zero.

 Um fato muito importante é que na fórmula da área do triângulo está em modulo então se o resultado do alinhamento der negativo, na fórmula da área o resultado tem que ser positivo pois está em modulo.

Exemplo 

   Determine a área do triângulo seus pontos são: A (4,0), B (0,0) e C (2,2)

 A área do triângulo ABC é de 4 u.a (unidades de área).

Baricentro

Ao traçarmos o baricentro nos segmentos da reta das medianas, elas se encontra no ponto G, sendo assim esse é o ponto representado com  baricentro do triângulo ABC. Ao analisar a imagem abaixo vemos o baricentro o ponto G no centro do triângulo.

Temos as seguintes coordenadas:

Para conseguirmos resolver o Baricentro precisamos de suas coordenadas, referentes ao seus três pontos no triângulo. É a seguinte fórmula para o eixo x e eixo y:

Exemplo:

Determine as coordenadas do baricentro do triângulo de vértices A(2, 4), B(2, 3) e C(2, 2).

O baricentro do triângulo ABC tem coordenadas G(2, 3).

Distância entre Ponto e Reta

A Distância entre o ponto P e uma reta S corresponde á reta entre o ponto e sua projeção ortogonal em S.Para a Geometria Analítica uma das coisas mais importantes é a distância entre os pontos e a reta conhecida muito com DPR. Olha a figura abaixo:

A equação geral da reta s: ax₀ + by₀ + c = 0 e a coordenada do ponto C (x₀,y₀), com essas informações está a seguinte fórmula:

 Essa Fórmula pode ser utilizada para o envolvimento do cálculo da distância entre um ponto e qualquer reta.

Exemplo:

Dado o ponto C(4, 5) e r: -3x + 4y + 2 = 0. Calcule a distância entre A e B 
Temos que: 

x: 4
y: 5
a: -3 
b: 4
c: 2 

Equação da Reta

A Equação da reta na Geometria Analítica,é possível associar cada reta uma equação. Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto C (x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

                                                             y – y1 = m* (x – x1)

Escolhendo o seguinte ponto (0, 3) podemos realizar o calculo da equação da reta ,temos a seguinte equação:

y – 3 = m * (x – 0)

y – 3 = mx – 0

y= mx – 0 + 3

y = mx + 3

Portanto ao terminar a equação da reta,temos a seguinte fórmula:

y = mx +b

                      


 Exemplo:

Utilizando o ponto P₁(2, 4), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y₁ = m * (x – x₁)
y – 4 = 4 * (x – 2)y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 4
y = 4x – 4

O Coeficiente Angular da Equação da Reta é:

m= Δy/Δx = Ya-Yb / Xa-Xb

Exemplo:O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (4,5) e B (2,(-2)) é:

m = 5 –(-2)/4 – 2

m = 7/2

m = 3,5

Condição de Alinhamento de Três Pontos

Três pontos estão alinhados se pertencerem a mesma reta como a imagem abaixo:

Para Termos certeza que os pontos estão alinhados, temos que  fazer o cálculo do determinante, sua fórmula abaixo:

Exemplo 

  
vamos determinar se estão alinhados.

  A (2, 2), B (3, 4) e C (5, 1),

Diagonal principal 

2 * 4 * 1 = 8

2 * 1 * 5 = 10

1 * 3 * 1 = 3 

Diagonal secundária 

2 * 3 * 1 = 6

2 * 1 * 1 = 2

1 * 4 * 5 = 20 

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária 

(8 + 10 + 3) – (6 + 2 + 20) 

21 – 28 = -7  Não estão alinhados

Os pontos somente estarão alinhados se o determinante da matriz quadrada calculada der o resultado  igual á 0.

Distância entre Dois Pontos

A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica,

responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. A distância entre os pontos A e B no Plano Cartesiano vamos estabelecer a distância entre eles

 sendo o ponto A (xa,ya) e B (xb,yb), podemos notar que a formação do triângulo retângulo ABC, onde se transformam em um triângulo retângulo.  A distância entre os dois pontos  é a hipotenusa do triângulo retângulo, que pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras. 

Cateto BC: yb – ya 

Cateto AC: xb – xa

Hipotenusa AB: distância (D)

A Fórmula para Saber a Distância entre dois pontos,veja abaixo:

Exemplo:

Dados os pontos A (4,5) e B (3,2), determine a distância entre eles.

xa: 4 e xb: 5

ya: 3 e yb: 2

Localização dos Pontos no Plano Cartesiano

Um Sistema definido como Plano cartesiano tem como objetivo de  localizar os pontos nos quadrantes adequado para cada ponto formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). A figura representada abaixo está representando um plano cartesiano simples sem nenhuma localização de ponto:

Um Plano Cartesiano  são representadas pelas ordenados (x ; y).Depois de se representadas pelas ordenadas devemos localizar o ponto observando  que  o eixo x vem primeiro que o eixo y, pois o eixo x fica na horizontal e o eixo y na vertical. Caso o  ponto não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes abaixo:

1º quadrante = x > 0 e y > 0

2º quadrante = x < 0 e y > 0

3º quadrante = x < 0 e y < 0

4º quadrante = x > 0 e y < 0 

 Exemplo: Localizando pontos no Plano Cartesiano:

A(-3 ;-4) → x = -3 e y = -4

B(4; 4) → x = 4 e y = 4
C( 1 ; 3) → x = 1 e y = 3
D(-2; 1) → x = -2 e y = 1
E(2 ; -2) → x = 2 e y = -2